Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Luas Daerah


A. Luas Daerah yang Dibatasi Oleh Kurva dengan Sumbu X


Untuk merumuskan integral tentu bagi luas suatu daerah yang di batasi oleh kurva dengan sumbu X, perhatikan kurva y = f(x) yang ditampilkan pada gambar. Kurva f ini merupakan fungsi kontinu dan tak negatif ( f( x )0 ) dalam interval tertutup axb .Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b misalkan dilambangkan dengan S. Luas daerah S dirumuskan dengan menggunakan integral tentu sebagai berikut:
L( S )= a b f( x ) dx

Jika kurva f ini merupakan fungsi kontinu dan tak positif f(x)0 dalam interval tertutup [ a,b ] . Maka daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b misalkan dilambangkan dengan S. Luas daerah S dirumuskan dengan menggunakan integral tentu sebagai berikut:
L(S)= a b f( x ) dx
atau
L(S)= | a b f( x ) dx |
Contoh Soal
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= 3 x 2 +6x , sumbu X, garis-garis x=0 dan x=2!
jawab:
L= 1 2 ( 3 x 2 +6x ) dx
L= [ x 3 +3 x 2 ] 0 2
L= { ( 2 ) 3 +3 ( 2 ) 2 }{ ( 0 ) 3 +3 ( 0 ) 2 } =20
Jadi luas daerahnya adalah 20 satuan luas.

B. Luas Daerah yang Dibatasi Oleh Beberapa Kurva

Misalkan diketahui kurva f dan g masing-masing dirumuskan dengan persamaan y= f(x) dan y= g(x). Kedua kurva ini merupakan kurva-kurva yang kontinu dengan f( x )g( x ) dalam suatu interval tertutup axb .Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan rumus :
L= a b { f( x )g( x ) }dx
Contoh Soal:
Tentukan luas kurva yang dibatasi oleh kurva y = x, kurva y = 2x, garis x = 1, dan garis x = 2!
Jawab:
L= 1 2 { ( 2x )( x ) } dx
L= 1 2 xdx
L= [ 1 2 x 2 ] 1 2 =1 1 2
Jadi , luas daerahnya adalah 1 1 2